Uygulamalı Bayesçi İstatistik

Adını Thomas Bayes’den alan Bayes teoremi; mevcut inançlarımızı veya bilgilerimizi (önsel olasılık) verinin sağladığı bilgilerle (olabilirlik) birleştirerek daha tutarlı ve yeni sonuçlara (sonsal olasılık) nasıl ulaşacağımızı matematiksel olarak ortaya koyar. Dikkat edilirse bu süreç, insan zihninin öğrenme biçimine benzediğinden, Bayes teoremi sadece istatistiksel bir araç değil, aynı zamanda bilgi edinmenin ve öğrenmenin temelini de ortaya kaymaktadır. Örneğin bir sürücünün yağmurlu bir günde yolda kayma olasılığını değerlendirirken sadece anlık durumu değil, aynı zamanda önceki deneyimlerini de hesaba katması; bir doktorun hastanın semptomlarına bakarken o hastalığın toplumdaki genel yaygınlık oranını da göz önünde bulundurarak teşhisini güncellemesi veya bir yatırımcının portföyünü, geçmiş piyasa trendleri ve uzman görüşleriyle birlikte güncel analizlere göre yeniden düzenlemesi, hep aynı temel prensibin yani Bayesçi bakış açısının, bilişsel düzeydeki yansımalarıdır. Bu yönüyle Bayesçi yaklaşım, farkında olmadan sürekli uyguladığımız sezgisel olasılık hesaplamalarının sistematik, ölçülebilir ve tutarlı hale getirilmiş formudur. Bayes teoremi ve yaklaşımlarının bu özelliklerine rağmen, ihtiyaç duyulan matematiksel hesaplamaların zorluğu ile bazı analitik çözümlerin güç olmasından dolayı yaygınlaşması zaman almıştır. Ancak son 30 yılda bilgisayar kapasitelerinin artmış olması ve özellikle Markov Zinciri Monte Carlo gibi sayısal benzetim tekniklerinin geliştirilmesi sayesinde, Bayesçi yöntemler bilimsel alandan çıkarak ekonomistler, mühendisler ve araştırmacılar için vazgeçilmez bir araç haline gelmiştir. Buna bağlı olarak Bayesçi istatistik günümüzün teknolojik dönüşümünün, özellikle de yapay zeka ve veri biliminin temel taşlarından birisi olmuştur. Örneğin, e-posta kutularımızı istenmeyen iletilerden koruyan spam filtreleri veya metin madenciliği uygulamaları, büyük ölçüde Bayes teoremine dayanan “Naive Bayes” sınıflandırıcılarını kullanır. Otonom araçlar, sensörlerinden gelen gürültülü ve belirsiz verileri doğru şekilde yorumlamak için Bayesçi yöntemlerden yararlanırlar. Bayes ağları ise değişkenler arasındaki nedensel ilişkileri modelleyerek, araçların bu ilişkilerden faydalanarak daha sağlıklı karar vermesini sağlar. Hiyerarşik Bayes modelleri, az veri bulunduğunda bile uzman bilgisi ve geçmiş verileri katmanlı biçimde kullanarak daha gerçekçi ve güvenilir sonuçlar üretir. Bu yöntemler sayesinde otonom araçlar, eksik ve belirsiz bilgiyle bile mantıklı çıkarımlar yapabilir ve güvenli kararlar alabilir.
Hazırlanan bu kitap Bayesçi istatistik konusuna merak duyan veya yeni başlayanlar için temel kavramları ve yöntemleri açıklamalı örnekler aracılığı anlatmak amacını taşımaktadır. Kavramlar ve yöntemler mümkün olduğunca basit işlenmiş, konu ile ilgili örneklerin de günlük hayatın içindeki uygulamalardan seçilmesine özen gösterilmiştir. Örnekler elle çözülerek yöntemlerin daha iyi anlaşılması sağlanmıştır. Anlatılan yöntemlerin, temel istatistik ve matematik eğitimi almış ve sayısal çözümlemeye yetkin kişilerce uygulanacağı varsayılmıştır. Konular 8 Bölüm altında toplanarak 104 çözümlü örnek yardımı ile anlatılmıştır. Örneklerin her aşaması detaylı biçimde çözümlenerek gösterilmiş, sonuçları da yorumlanmıştır. Bazı örneklerde konunun daha iyi anlaşılması için farklı önsel bilgilerin kullanımı ile duyarlılık analizleri de yapılmıştır. Konular anlatılırken önce klasik istatistikteki karşılığı özetlenmiş, sonrasında Bayesçi yöntemler açıklanmıştır.

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ 
BÖLÜM 1.
KOŞULLU OLASILIK VE BAYES TEOREMİ 
1.1. OLASILIK 
1.2. KOŞULLU OLASILIK 
1.3. BAYES TEOREMİ 
BÖLÜM 2.
BAYESÇİ İSTATİSTİĞİN TEMELLERİ 
2.1. TEMEL BİLGİLER 
Tarihçe 
Bayesçi Masa Deneyi 
Bayesçi Yaklaşım 
Önsel ve Sonsal Bilgiler
Bayesçi Yaklaşımın Özellikleri 
Bayesçi İstatistik ile Klasik İstatistik Arasındaki Farklar 
Objektif ve Sübjektif Olasılıklar 
2.2. BAYES KESTİRİCİSİ 
2.3. ÖNSEL DAĞILIM TÜRLERİ 
Bilgi Vermeyen Önsel Dağılımlar 
Eşlenik Önsel Dağılımlar 
Önsel Dağılımların Duyarlılık Analizi
2.4. ÖNSEL DAĞILIMLARIN ELDE EDİLİŞİ 
Uzman Görüşlerinin Kullanılması 
Geçmiş Verilerden Yararlanma 
Mevcut Veri Kümesinden Yararlanma 
Berger-Bernardo Yöntemi
Birden Fazla Önselin Ağırlıklı Birleşimi 
Kısıt Yaklaşımı 
2.5. ÖNSEL DAĞILIMLARIN ÖZELLİKLERİ 
BÖLÜM 3. NORMAL DAĞILIM VARSAYIMI ALTINDA SONSAL DAĞILIMLAR 
3.1. NEDEN NORMAL DAĞILIM? 
3.2. BELİRSİZ ÖNSELLER ALTINDA ÇIKARIMLAR 
3.3. EŞLENİK ÖNSEL ALTINDA ÇIKARIMLAR
Varyansın Bilindiği Durumda Ortalama için Sonsal Dağılımın Belirlenmesi 
Ortalamanın Bilindiği Durumda Varyans için Sonsal Dağılımın Belirlenmesi 
Ortalama ve Varyansın Bilinmediği Durumda Sonsal Dağılımların Elde Edilmesi 
Ortalama ve Varyansın Bilindiği Durumda Sonsal Dağılımın Elde Edilmesi 
BÖLÜM 4.
ARALIK TAHMİNLERİ VE HİPOTEZ TESTLERİ
4.1. ARALIK TAHMİNLERİ 
Klasik Güven Aralığı 
Bayesçi Güvenilir Aralıklar 
4.2. HİPOTEZ TESTLERİ 
Klasik Hipotez Testleri 
Bayesçi Hipotez Testleri 
BÖLÜM 5. BAYESÇİ DOĞRUSAL REGRESYON 
5.1. KLASİK TANIMLAR 
5.2. BAYESÇİ REGRESYON KESTİRİMİ 
Bilgi Vermeyen Önsel Altında Bayesçi Regresyon 
Bilinen Varyans ve Eşlenik Önsel Olduğu Durum 
Kestiricilerin Varyansları 
Bilinmeyen Varyans ve Eşlenik Önsel Olduğu Durum 
Sonsal Doğruluk ve Kestiricilerin Yanı 
5.3. BAYESÇİ REGRESYONDA ÖNSEL DAĞILIMLARIN BELİRLENMESİ 
Deneysel Yaklaşımlar 
Önsel Kısıtlarının Kullanılması 
Zellner-