Değişmeli Halkalar ve Modüller

Değişmeli Halkalar Teorisi, sadece Cebirin birçok dalıyla değil, Matematiğin Sayılar Teorisi, Cebirsel Topoloji ve Fonksiyonel Analiz gibi çeşitli alanlarıyla da ilgili bir konudur. Esas kaynağı da Cebirsel Geometri ve Cebirsel Sayılar Teorisinden gelir.
Bu kitapta, Değişmeli Halkalar Teorisinin bu kadar kapsamlı konuları arasında, Teorinin temel kavramlarım ve tekniklerini vermek ve bir giriş yapmak hedeflenmiştir. Marmara Üniversitesinde, R.Y. Sharp’m "Steps in Commutative Algebra" kitabına paralel, 8 yıldır Yüksek Lisans dersi olarak vermekte olduğumuz "Değişmeli Cebir" derslerinde, gerek değişik alanlarda kariyer yapmak isteyen öğrencilerin ihtiyaçları, gerekse öğrencilerin Lisans düzeyindeki bilgilerinin farklılığı, böyle bir kitap çerçevesinde konuları sıralama ve içeriğini belirlememize neden olmuştur. Diğer taraftan, araştırmaya yeni başlayan ve gerekli olan çeşitli bilgileri toplamada güçlük çeken genç araştırmacıların da böyle bir esere gereksinim duyacaklarına inanıyoruz.
Bu kitabın amacı, Lisans eğitimini bitirmiş bir öğrencinin Yüksek Lisansa geçişini hazırlamak ve Halka ve Modüller hakkında temel kavramları vererek, bu konulardaki yayınları okuyabilmesine ve araştırma yapmasına hazır hale gelmesini sağlamaktır.
Kitap esas olarak 3 kısımdan oluşmaktadır. Birinci Kısımda, Kitabın ilk beş Bölümünde, Değişmeli Halkalar Teorisinin temel kavramları verilmiştir. Konular, okuyucunun mümkün olduğu kadar, Lisans- da görülen Soyut Cebir derslerinden sonra, kolaylıkla anlayabileceği şe-kilde, bir bütünlük içinde verilmeye çalışılmıştır. Okuyucu gene de bazı kavramlarda kendini eksik görürse, "örneklerle Soyut Cebir" kitabına bakmasını tavsiye ederiz. Kitap boyunca halkalarımız birim-li ve değişmeli olarak alınmıştır.
îkinci Kısımda, Kitabın 6-12. Bölümlerinde, Modül Teorisine yer verilmiştir. Halkalarda verilen kavramların bazıları tekrarlansa da Modüllere genelleştirmeleri yapılmıştır, özel olarak, Çarpımsal Modüller, Asal Alt Modüller ve Radikallerle ilgili Literatürde sık sık karşılaşılan bazı temel kavramlar ele alınmış ve bazı makalelerden örnekler verilmiştir.
Üçüncü Kısım, Kitabın 13-15. Bölümleri de Dedekind Bölgesi, Tam Genişlemeler ve Ayrık Değer Halkalarına ayrılmıştır. Bu kısımda, Cebirsel Sayılar Teorisine giriş oluşturan, ideallerde asal çarpanlara ayrılışın tekliği incelenmiştir. Modül teori kullanılarak, halkaların yapısı hakkında bazı örnekler verilmiştir.
Kitabın işlenişinde, mümkün olduğu kadar örneklere yer verilmiş ve bunlara benzerleri de Alıştırma olarak bırakılmıştır.
1992 yılından beri sekizinci baskısı yapılan, " Örneklerle Soyut Cebir" kitabına olan ilgi ve genç Matemetikçilerin gereksinimleri, bizi böyle bir kitabı hazırlamamıza cesaret vermiştir. Umarız ki, genç matematikçiler bu Kitapla, Cebire olan sevgilerini artırır ve Matematiğin çeşitli dallarındaki çalışmalarında yararlı olur.
Son olarak, bu Kitabın yazılışında Latex’in karmaşık uygulamaları için, sık sık yardımlarını gördüğümüz tüm arkadaşlarımıza da teşekkür ederiz.
İstanbul-2009